Geometría Babilónica antes que Pitágoras
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[Agencia SINC] Mil años antes de que naciera Pitágoras, en la Antigua Babilonia ya se trazaban triángulos y ternas pitagóricas para delimitar las tierras. Así lo confirma una pieza de arcilla de hace 3.700 años redescubierta en un museo de Estambul (Turquía) por un matemático australiano.
En 2017 el profesor Daniel Mansfield de la Universidad de Nueva Gales del Sur (UNSW, Australia) descubrió que una tablilla rectangular babilónica denominada Plimpton 322, de unos 3.800 años de antigüedad, era la tabla trigonométrica más antigua y precisa del mundo.
Ahora, Mansfield ha publicado en la revista Foundations of Science un nuevo estudio con más detalles sobre esa pieza de arcilla y sobre otra redonda -una tablilla de mano para llevar cómodamente en la mano- que permanecía olvidada desde hace más de un siglo en el Museo Arqueológico de Estambul (Turquía). La tablilla, etiquetada como Si.427 y fechada en la Antigua Babilonia entre el 1900 y 1600 a.C., es el único ejemplo conocido de un documento catastral de esa época, un plano utilizado por los topógrafos para definir los límites de las tierras.
La Tablilla Plimpton 322
La tablilla babilónica Plimpton 322 presenta cuatro columnas (separadas por tres hendiduras) y 15 filas de números cuneiformes, pero seguramente tuvo más porque está fragmentada. / UNSW/Andrew Kelly
El arqueólogo que inspiró el personaje de Indiana Jones, el estadounidense Edgar Banks, descubrió hace un siglo en Irak una enigmática tablilla babilónica repleta de números cuneiformes. Tras un siglo de debates matemáticos, se descubrió que se trata de una tabla trigonométrica de hace 3800 años, la más antigua conocida hasta la fecha, que enseña cómo hacer cálculos trigonométricos sin ángulos y con una precisión sin precedentes. Investigadores de la Universidad de Nueva Gales del Sur (UNSW, Australia) han analizado la tablilla de arcilla babilónica, datada entre 1822 y 1762 antes de Cristo, y han descubierto que se trata de la tabla trigonométrica utilizada para realizar los cálculos necesarios para levantar templos, palacios, canales y otras construcciones. Los babilonios se adelantaron en más de mil años a los griegos en la invención de la trigonometría y tenían un sofisticado y antiguo conocimiento matemático que había permanecido oculto hasta ahora. La tablilla, denominada Plimpton 322, fue descubierta en la primera década del siglo XX, en lo que ahora es el sur de Irak, por el diplomático, arqueólogo, académico y comerciante de antigüedades, Edgar Banks, personaje real en el que se basó otro de ficción mucho más popular: Indiana Jones.
En esta tablilla aparecen grabadas, con la escritura cuneiforme de la época, una serie de cuatro columnas y 15 filas de números que siguen un original sistema sexagesimal (de base 60, como nuestro sistema horario), en lugar del sistema decimal con base 10 que utilizamos hoy en día. Las cifras describen una secuencia de 15 triángulos rectángulos, que van reduciendo su inclinación y 'aplanando' fila tras fila. Basándose en estudios previos y observando que el borde izquierdo de la arcilla está roto, los investigadores plantean que Plimpton 322 tuvo originalmente seis columnas y probablemente debía estar formada por 38 filas de caracteres cuneiformes. “Esta tablilla lleva desconcertado a los matemáticos desde hace más de 70 años, porque se dieron cuenta de que contiene un patrón especial de números llamado terna pitagórica”, explica uno de los autores, Daniel Mansfield, de la Escuela de Matemáticas y Estadística de la UNSW en Sidney,
Una terna pitagórica es una lista de tres números enteros positivos: a, b y c, donde se cumple que a2+b2= c2. Un ejemplo sencillo son los números enteros 3, 4 y 5, pero los valores que presenta Plimpton 322 a menudo son considerablemente mayores, como los que refleja en su primera fila, donde aparece el triplete 119, 120 y 169. El nombre de esta terna se deriva del teorema de Pitágoras, que para un triángulo rectángulo establece que el cuadrado de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) es la suma de los cuadrados de los otros dos lados. “Los babilonios conocían los triples pitagóricos mucho antes de que naciera Pitágoras, como se puede ver en esta y otras tablillas”, señala Mansfield y destaca: “Además nos enseñan cómo hacer trigonometría sin usar los ángulos, una trigonometría mucho más simple que no requiere conceptos avanzados como ángulos o números irracionales”. La desconocida trigonometría que describe la tablilla para los triángulos rectángulos se basa en ratios o relaciones, no en ángulos ni círculos. Según los autores, es una obra matemática fascinante que demuestra el genio de sus creadores: “La tablilla no sólo contiene la tabla trigonométrica más antigua del mundo, sino que también es la única completamente precisa, debido al diferente enfoque babilónico de la aritmética y la geometría”.
El estudio, que se publica en Historia Mathematica (la revista oficial de la Comisión Internacional de Historia de las Matemáticas), apunta la predilección de los babilónios por la precisión de los números, y compara la tablilla con la llamada tabla de senos de Madhava (construida en el siglo XIV por este matemático y astrónomo indio), demostrando que Plimpton 322 es una tabla trigonométrica “exacta y potente”. Las tablas trigonométricas permiten usar la información de un lado de un triángulo rectángulo para determinar la de los otros dos. Hasta ahora se consideraba al astrónomo griego Hiparco, que vivió alrededor de 120 años antes de Cristo, como el padre de la trigonometría, y a su 'tabla de cuerdas' como la tabla trigonométrica más antigua. “Pero Plimpton 322 precede a Hiparco en más de 1000 años”, insiste el otro autor, el profesor Norman Wildberger, quien considera que gracias a esta tablilla se abren nuevas posibilidades no sólo para la investigación matemática moderna, sino también para la educación matemática: “Nos ofrece una trigonometría más simple, más precisa, que tiene claras ventajas sobre la nuestra”.
El mundo antiguo enseñando algo nuevo: “Esto significa que tiene gran relevancia para nuestro mundo moderno”, añade Mansfield por su parte. “La matemática babilónica puede no haber estado de moda durante más de 3000 años, pero hoy tiene posibles aplicaciones prácticas en topografía, gráficos por ordenador y en el campo de la educación. Es un raro ejemplo del mundo antiguo enseñándonos algo nuevo”. “Plimpton 322 era una herramienta poderosa que podría haber sido utilizada en la topografía de los campos o para los cálculos arquitectónicos en la construcción de palacios, templos o pirámides escalonadas”, aventura Mansfield, aunque reconoce que, en realidad, “es difícil decirlo con seguridad, porque nuestra ventana a ese mundo es muy pequeña: sólo podemos echar un vistazo y decir lo que parece ser”.
En cualquier caso, los autores descartan que la tablilla sirviera simplemente para que los profesores de la época comprobaran las soluciones de los estudiantes a la hora de resolver problemas de ecuaciones cuadráticas. Plimpton 322, que se cree procede de la antigua ciudad sumeria de Larsa (a unos 250 km al sur de Bagdad), actualmente se conserva en la Biblioteca de Manuscritos y Libros Raros de la Universidad de Columbia en Nueva York. “Existe un tesoro de tablillas babilónicas como esta, pero sólo se ha estudiado una parte. El mundo matemático está empezando a descubrir que la antigua, aunque muy sofisticada, cultura matemática de los babilonios todavía tiene mucho que enseñarnos”, concluye Wildberger.
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Está etiquetada como Si.427 y fue recogida en 1894 por el arqueólogo francés Jean Vincent Scheil en Sippar, una ciudad de la Baja Mesopotamia situada en lo que hoy es la provincia de Bagdad, en Irak. Según Mansfield, es el ejemplo más antiguo de geometría aplicada del que se tiene constancia. “Si.427 data del período de la Antigua Babilonia (entre el 1900 y 1600 a.C.)”, afirma este matemático, y agrega, “lo sabemos porque la tablilla hace referencia a un campo propiedad de Sîn-bêl-apli, un terrateniente que vivía en Sippar en esa época, y además el estilo del lenguaje lo confirma”.
“Es el único ejemplo conocido de un documento catastral de ese periodo -subraya-, un plano utilizado por los topógrafos para definir los límites de las tierras. En este caso, nos informa de los detalles legales y geométricos de unas tierras (pantanosas o humedales) divididas tras la venta de una parte”.
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Ternas pitagóricas antes de Pitágoras: Pero si hay algo que destaca en esta milenaria arcilla es el uso de lo que hoy se conoce como ternas pitagóricas para hacer ángulos rectos precisos. Mansfield destaca que este descubrimiento tiene importantes implicaciones para la historia de las matemáticas, ya que aparece esta figura geométrica mil años antes de que naciera Pitágoras.
“Este descubrimiento tiene importantes implicaciones para la historia de las matemáticas, ya que aparecen ternas pitagóricas mil años antes de que naciera Pitágoras”. Daniel Mansfield (UNSW, Australia) |
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“Una terna pitagórica es un triángulo rectángulo (o rectángulo) de medidas muy simples que satisface el teorema de Pitágoras -explica-. La mayoría de los rectángulos y triángulos rectos tienen longitudes muy incómodas como 1,4142135623730951..., pero estas ternas tienen medidas muy sencillas como 3, 4 y 5. Esto hace que sean una forma fácil de construir líneas perpendiculares. Se utilizó en la antigua India ya en el año 800 a.C., pero ahora sabemos que también en la topografía babilónica en el año 1900 a. C., unos mil años antes”.
En el caso de la tablilla redonda, escrita con letra cuneiforme, se dibuja el campo vendido con líneas de cuadrícula horizontales y verticales superpuestas, lo que permitió al topógrafo realizar una precisa subdivisión. En concreto, la tablilla contiene las ternas 5-12-13 (dos veces) y la 8-15-17, que se emplearon como base teórica para las líneas perpendiculares de la cuadrícula. Otras tablillas de la época también mencionan disputas de Sîn-bêl-apli por temas relacionados con sus tierras, como en una donde se menciona un pleito con otra rica terrateniente por las valiosas palmeras datileras que crecían entre sus dos propiedades. Un administrador local aceptó enviar a un topógrafo para resolver el conflicto, un ejemplo más de lo importante que era ya entonces establecer los límites catastrales.
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“Sabíamos que los babilonios conocían los triángulos rectángulos y las ternas o ‘triples’ pitagóricos, pero desconocíamos por y para qué”, apunta el investigador, “pero ahora la nueva tablilla Si.427 nos muestra que usaban estas formas para medir con precisión el terreno, y esto nos ayuda a entender otras tablillas de la misma época, como la más famosa Plimpton 322”. En 2017 ya se planteó que esta tuviera algún propósito práctico para construir palacios, templos, canales... o en la topografía de campos.
Mansfield considera que la forma en que se establecen los límites entre las tierras revela una verdadera comprensión geométrica: “Nadie esperaba que los babilonios utilizaran las ternas pitagóricas de esta manera. Se trata de algo más parecido a las matemáticas puras, inspirado en los problemas prácticos de la época”.
En general, se acepta que la trigonometría (la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los triángulos) fue desarrollada por los antiguos griegos al estudiar el cielo nocturno en el siglo II antes de Cristo, pero estudios como este demuestran que los babilonios desarrollaron su propia 'proto-trigonometría' alternativa para resolver, en esta caso, problemas relacionados con la medición del suelo, no del cielo.
Crear ángulos rectos: más fácil de decir que de hacer: Una forma sencilla de crear un ángulo recto exacto es hacer un rectángulo con los lados 3 y 4, y la diagonal 5. Estos números especiales forman la terna pitagórica 3-4-5, y un rectángulo con estas medidas tiene ángulos rectos matemáticamente perfectos. Esto era importante para los topógrafos de la antigüedad y todavía se utiliza hoy en día.
“Los antiguos topógrafos que grabaron Si.427 hicieron algo aún mejor: utilizaron una variedad de diferentes ternas pitagóricas, tanto en forma de rectángulos como de triángulos rectos, para construir ángulos rectos precisos”, señala el matemático australiano. Sin embargo, es difícil trabajar con números primos mayores de 5 en el sistema numérico babilónico que era de base 60. “Esto plantea un problema muy particular: su sistema numérico único de base 60 significa que solo se pueden utilizar algunas formas pitagóricas”, explica Mansfield, “y parece que el autor de Plimpton 322 revisó todas esas formas para encontrar aquellas útiles”.
El misterio del 25:29: Solo queda un misterio que el autor no ha logrado todavía desvelar: en el reverso de la tablilla, en la parte inferior, aparece el número sexagesimal 25:29 en letra grande, y el matemático piensa que son 25 minutos y 29 segundos. “Pero no puedo entender qué significan, es todo un enigma –reconoce-. Estoy deseando debatir cualquier pista con historiadores o matemáticos que pudieran tener una corazonada sobre lo que estos números tratan de decirnos”.
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